Question

某批發公司批發某商品，每件商品進價80元，批發價120元，該批發商為鼓勵經銷商批發，決定當一次批發量超過100個時，每多批發一個，批發的全部商品的單價就降低0.04元，但最低批發價不能低于102元．求下列問題：
（1）當一次訂購量為多少個時，每件商品的實際批發價為102元？
（2）當一次訂購量為x個，每件商品的實際批發價為P元，寫出函數P=f（x）的表達式；
（3）根據市場調查發現，經銷商一次最大定購量為500個，則當經銷商一次批發多少個零件時，該批發公司可獲得最大利潤．

Answer 1

分析：（1）設一次訂購量為100+n（n∈N），求出批發價，建立等量關系可求出n的值；
（2）直接根據題目條件可知該批發價的函數是一分段函數，用分段函數表示出P=f（x）即可；
（3）當經銷商一次批發個零件x時，該批發公司可獲得利潤為y，根據利潤=（批發價-進價）×個數求出利潤函數，然后根據分段函數的最值的求法求出所求．

解答：解：（1）設一次訂購量為100+n（n∈N），
則批發價為120-0.04n，令120-0.04n=102，∴120-102=0.04n，∴n=450，
所以當一次訂購量為550個時，每件商品的實際批發價為102元．…（5分）
（2）由題意知f(x)=

120 ，0≤x≤100，x∈N 120-0.04(x-100) ，100＜x≤550，x∈N

…（10分）
（3）當經銷商一次批發x個零件時，該批發公司可獲得利潤為y，根據題意知：y=

40x ，0≤x≤100 [40-0.04(x-100)]•x ，100＜x≤500

…（12分）
設f₁（x）=40x，在x=100時，取得最大值為4000；
設f₂（x）=-0.04x²+44x=-0.04（x-550）²+0.04×550²
所以當x=500時，f₂（x）取最大值12000．                          …（15分）
答：當經銷商一次批發500個零件時，該批發公司可獲得最大利潤．…（16分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及二次函數的性質，同時考查計算能力和建模能力，屬于中檔題．