Question

已知函數f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx．
（I）求f（x）的值域；
（II）將函數y=f（x）的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）先根據三角函數變換公式進行化簡，然后利用降冪公式和二倍角公式進行化簡整理，最后用輔助角公式化成y=Asin（ωx+φ），最后根據正弦函數的單調性求出其值域即可．
（II）由題可知：g(x)=2sin(2(x-

π

6

)+

π

3

)=2sin2x，將2x看成整體，結合正弦函數y=sinz的單調區間，即可求出g（x）的單調遞增區間．

解答：解：f(x)=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

sin2x+sinx•cosx

=2sinxcosx+ 3 (cos2x-sin2x)…3′ =sin2x+ 3 cos2x=2sin(2x+ π 3 )…5′

（I）f（x）的值域為[-2，2]…（7分）
（II）由題可知：g(x)=2sin(2(x-

π

6

)+

π

3

)=2sin2x，…（9分）
∴2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，解得，kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

…（12分）
所以g（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

](k∈Z)…（13分）

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、三角函數的單調性和值域，同時考查了計算能力和化簡轉化的能力，屬于中檔題．