Question

已知函數f（x）=mx³-x²+13（m∈R）．
（1）當m=

1

3

時，求f（x）的極值；
（2）當m≠0時，若f（x）在（2，+∞）上是單調的，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把m=

1

3

代入函數f（x）=mx³-x²+13（m∈R），求得f（x）的表達式，對其進行求導得f′（x），并令f′（x）=0，即可求得極值；
（2）已知m≠0，對f（x）求導，因為f（x）在（2，+∞）上是單調的，可得f′（x）＜0或，f′（x）＞0在（2，+∞）上成立，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）當m=

1

3

時，由 f′（x）=x²-2x=0，得 x=0 或 x=2．
所以當x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；x∈（0，2）時，f′（x）＜0；
x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0．
因此x=0時，f（x）取極大值，f（x）_極大=f（0）=13；x=2時，
f（x）取極小值，f（x）_極小=f（2）=

35

3

．                             
（2）f′（x）=3mx²-2x，因為m≠0，所以f′（x）的圖象是拋物線，與x軸始終有兩個交點（0，0）與（

2

3m

，0）．
若f（x）在（2，+∞）上是單調的，即f（x）在（2，+∞）上恒有
f′（x）≥0 或f′（x）≤0．
當m＜0時，拋物線開口向下，與x軸正方向無交點，
在（2，+∞）上恒有f′（x）＜0；
當m＞0時，拋物線開口向上，與x軸正方向的交點為（

2

3m

，0），只需

2

3m

≤2，
解得m≥

1

3

．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）．

點評：此題主要考查函數的單調性與導數的關系：若f′（x）＞0得f（x）為增函數，若f′（x）＜0得f（x）為減函數；