Question

函數f(x)=x+

2a

x

（Ⅰ）判斷并證明函數的奇偶性；
（Ⅱ）若a=2，證明函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增；
（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，解不等式f（t²+2）+f（-2t²+4t-5）＜0．

Answer 1

分析：（I）利用奇函數的定義即可判斷出；
（II）利用函數的單調性的定義即可證明；
（III）利用奇函數的性質和單調性即可解出．

解答：（I）解：該函數為奇函數．
證明：函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，
且f（-x）=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

)=-f(x)，
故函數f（x）為奇函數．
（II）當a=2時，f（x）=x+

4

x

．
?2＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0．
∴

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
（III）∵f（x）為奇函數，∴f（t²+2）＜-f（-2t²+4t-5）=f（2（t-1）²+3），
∵t²+2≥2，2（t-1）²+3＞2，函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增，
∴t²+2＜2t²-4+5，
化為t²-4t+3＞0，解得t＜1或t＞3．

點評：熟練掌握奇函數的性質和單調性是解題的關鍵．