Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點處相切，此切線與函數圖象所圍區域（圖中陰影部分）的面積為

27

4

，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：由圖可知f（x）=0得到x的解確定出b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為

27

4

，利用定積分求面積的方法列出關于a的方程求出a并判斷a的取舍即可．

解答：解：由圖知方程f（x）=0有兩個相等的實根x₁=x₂=0，于是b=0，
∴f（x）=x²（x+a），有

27

4

=

∫

-a 0

[0-(x3+ax2)]dx=-(

x4

4

+

ax3

3

)

.

-a 0

=

a4

12

，
∴a=±3．
又-a＞0?a＜0，得a=-3．
故答案為：-3．

點評：考查學生利用定積分的方法求平面圖形面積的能力．