Question

已知函數f（x）=ln（ax+b）的圖象在x=1處的切線方程為y=x-+ln2．
（1）證明：方程f（x）-x=0有且只有一個實根；
（2）若s，t∈（0，+∞），且s＜t時，試證明：（1+s）^ef（t-1）＞（1+t）^ef（s-1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件，容易求出a，b的值，即求出f（x），構造新函數g（x）=ln（x+1）-x，令g′（x）=0，得x=0，判斷g（x）在（-1，0），（0，+∞）上的單調性，即可證明g（x）只有一個實根x=0．
（2）從所要證明的不等式看，構造新的函數f（t-1）=lnt，即需要證明（1+s）^t＞（1+t）^s，利用不等式的分析法證明，其中離不開利用導數求解函數單調的方法步驟．
解答：解：（1）f′（x）=，由已知條件得，
解得a=b=1，即f（x）=ln（x+1），
∴f（x）-x=ln（x+1）-x=0．
設g（x）=ln（x+1）-x，
則由g′（x）=-1=0得x=0，
且當x∈（-1，0）時，g′（x）＞0，
故g（x）在（-1，0）上單調遞增；
當x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴g（x）_max=g（0）=0，即g（x）≤0，
當且僅當x=0時有g（x）=0．
故方程f（x）-x=0有且只有一個實根x=0．
（2）由（1）知f（t-1）=ln（1+t-1）=lnt，
e^f（t-1）=e^lnt=t，同理e^f（s-1）=s．
∴所證不等式即（1+s）^t＞（1+t）^s，
由0＜s＜t，將不等式兩邊取對數，得tln（1+s）＞sln（1+t），
即證＞，
構造函數h（x）=（x＞0），
則h′（x）=，顯然（1+x）x²＞0，
設I（x）=x-（1+x）ln（x+1），
則當x＞0時，有I′（x）=-ln（x+1）＜0，
故I（x）在[0，+∞）上為減函數，
∴當x＞0時，I（x）＜I（x）=0，
從而h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上為單調遞減函數，
∵0＜s＜t，∴h（s）＞h（t），即＞成立，結論得證．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，并構造新的函數，反復利用求解函數單調的方法步驟，是函數的重點和難點．值得我們在學習中加以重視．