Question

對于給定首項x＞（a＞0），由遞推公式x_n+1=（x_n+）（n∈N）得到數列{x_n}，對于任意的n∈N，都有x_n＞，用數列{x_n}可以計算的近似值．
（1）取x=5，a=100，計算x₁，x₂，x₃的值（精確到0.01）；歸納出x_n，x_n+1，的大小關系；
（2）當n≥1時，證明：x_n-x_n+1＜（x_n-1-x_n）；
（3）當x∈[5，10]時，用數列{x_n}計算的近似值，要求|x_n-x_n+1|＜10^-4，請你估計n，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列遞推式，代入計算，即可得到結論，同時可猜想結論；
（2）作差，利用條件，證明其大于0，即可得到結論；
（3）由題意，只要，由此可估計n的值．
解答：（1）解：∵x=5，a=100，x_n+1=（x_n+）
∴x₁=（5+）≈4.74
同理可得x₂≈4.67，x₃≈4.65
猜想x_n＞x_n+1；
（2）證明：x_n-x_n+1-（x_n-1-x_n）==
∵；
∴x_n-x_n+1==＞0
∴x_n＞x_n+1
∴；
（3）解：由（2）知＜…＜
由題意，只要，即2ⁿ＞10⁴（x-x₁）
∵
∴n＞=15.1
∴n=16．
點評：本題考查數列遞推式，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．