Question

設f_k（n）為關于n的k（k∈N）次多項式．數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n。對于任意的正整數n，a_n+S_n=f_k（n）都成立。
（1）若k=0，求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）試確定所有的自然數k，使得數列{a_n}能成等差數列。

Answer 1

解：（1）若k=0，則為常數，
不妨設（c為常數），
因為恒成立，
所以，
而且當n≥2時，， ①
， ②
①-②得，
若a_n=0，則，…，a₁=0，與已知矛盾，
所以，
故數列{a_n}是首項為1，公比為的等比數列；
 （2）(i)若k=0，由（1）知，不符題意，舍去；
(ii)若k=1，設（b，c為常數），
當n≥2時，， ③
 ， ④
③-④得，
要使數列{a_n}是公差為d（d為常數）的等差數列，必須有（常數），
而a₁=1，
故{a_n}只能是常數數列，通項公式為a_n=1（n∈N*），
故當k=1時，數列{a_n}能成等差數列，其通項公式為a_n=1（n∈N*），
此時；
(iii)若k=2，設（a≠0，a，b，c是常數），
當n≥2時，， ⑤
， ⑥
⑤-⑥得，
要使數列{a_n}是公差為d（d為常數）的等差數列，
必須有，且d=2a，
考慮到a₁=1，
所以，
故當k=2時，數列{a_n}能成等差數列，其通項公式為，
此時（a為非零常數）；
(iv)當k≥3時，若數列{a_n}能成等差數列，則的表達式中n的最高次數為2，故數列{a_n}不能成等差數列；
綜上得，當且僅當k=1或2時，數列{a_n}能成等差數列。