Question

如圖，五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四邊形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁為直二面角．
（Ⅰ）D在AC上運動，當D在何處時，有AB₁∥平面BDC₁，并且說明理由；
（Ⅱ）當AB₁∥平面BDC₁時，求二面角C-BC₁-D余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意連接B₁C交BC₁于O，連接DO由于四邊形BCC₁B₁是矩形且O為B₁C中點又D為AC中點，從而DO∥AB₁，在由線線平行，利用線面平行的判定定理即可；
（II）由題意建立空間直角坐標系，先求出點B，A，C，D及點C₁的坐標，利用先求平面的法向量，在由法向量的夾角與平面的夾角的關系求出二面角的余弦值的大小．

解答：解：（Ⅰ）當D為AC中點時，有AB₁∥平面BDC₁，
證明：連接B₁C交BC₁于O，連接DO∵四邊形BCC₁B₁是矩形
∴O為B₁C中點又D為AC中點，從而DO∥AB，
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁∴AB₁∥平面BDC₁
（Ⅱ）建立空間直角坐標系B-xyz如圖所示，則B（0，0，0），A（

3

，1，0），C（0，2，0），D（

3

2

，

3

2

，0），C₁（0，2，2

3

），
所以

BD

=（

3

2

，

3

2

，0），

BC1

=（0，2，2

3

）．
設

n1

=（x，y，z）為平面BDC₁的法向量，則有

3 2 x+ 3 2 y=0 2y+2 3 z=0

，即

x=3z y=- 3 z

令Z=1，可得平面BDC₁的一個法向量為

n1

=（3，-

3

，1），
而平面BCC₁的一個法向量為

n2

=（1，0，0），
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

13

=

3 13

13

，故二面角C-BC₁-D的余弦值為

3 13

13

．

點評：（I）此問重點考查了線面平行的判定定理，還考查了中位線的平行的性質定理，及學生的空間想象能力
（II）此問重點考查了利用空間向量的知識，及平面的法向量的夾角與二面角的大小聯系；此外還考查了學生的計算能力．