Question

（2010•九江二模）已知函數f(x)=lnx+

a

x

．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為1，求實數a的取值范圍；（其中e為自然對數的底數）；
（3）若f(x)＜

1

2

x在(1，+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f'（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0），能推導出f（x）的單調區間．
（2）由x∈[1，e]，知當a≤1時，f'（x）≥0，故f（x）_min=f（1）=a=1；當a≥e時，f'（x）≤0，推導出a=0（舍去）；當1＜a＜e時，推導出a=1（舍去）．綜上所述，a=1．
（3）f（x）＜

1

2

x在（1，+∞）上恒成立?a＜

1

2

x2-xlnx在（1，+∞）上恒成立．令g(x)=

1

2

x2-xlnx，g'（x）=x-lnx-1．h（x）=x-lnx-1，h'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．由此進行分類討論，能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）…（2分）
∴f'（x）＞0?x＞a，f'（x）＜0?0＜x＜a…（3分）
∴f（x）在（0，a）上單調遞減，
在（a，+∞）上單調遞增   …（4分）
（2）∵x∈[1，e]
∴當a≤1時，f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上單調遞增，
故f（x）_min=f（1）=a=1
滿足題意   …（5分）
當a≥e時，f'（x）≤0，
∴f(x)在[1，e]上單調遞減，故f(x)min=f(e)=1+

a

e

=1⇒a=0（舍去）   …（6分）
當1＜a＜e時，由（1）知f（x）在（1，a）上單調遞減，
在（a，e）上單調遞增，
故f（x）_min=f（a）=lna+1=1⇒a=1（舍去）  …（7分）
綜上所述，a=1…（8分）
（3）f（x）＜

1

2

x在（1，+∞）上恒成立?a＜

1

2

x2-xlnx在（1，+∞）上恒成立…（9分）
令g(x)=

1

2

x2-xlnx
g'（x）=x-lnx-1
令h（x）=x-lnx-1h'（x）
=1-

1

x

=

x-1

x

…（10分）
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0
故h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
所以h（x）＞h（1）=0
故g(x)在(1，+∞)上單調遞增，所以g(x)＞g(1)=

1

2

，
所以a≤

1

2

．…（12分）

點評：本題考查解導數在求函數最大值和最小值中的實際應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．