Question

a²（n≥4，n∈N^*）個正數排成一個n行n列的數陣：

其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n，k∈N^*）表示該數陣中位于第i行第k列的數，已知該數陣每一行的數成等差數列，每一列的數成公比為2的等比數列，a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）設A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，是否存在整數p使得不等式A_n≥11n+p對任意的n∈N^*恒成立，如果存在，求出p的最大值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設第一行的公差為d，則a_1k=a₁₁+（k-1）d∵第b列的數成公比為2的等比數列
即a_ik=[a₁₁+（k-1）d]•2^i-1（2分）
又∵a₂₃=8，a₃₄=20∴
解得a₁₁=2，d=1（4分）
從而a_ik=（k+1）•2^i-1（6分）
（2）由（1），得a_i（n+1-i）=（n+2-i）•2^i-1
A_n=a_nn+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1
=（n+1）×2⁰+n×2+（n-1）×2²+…+2×2^n-12_n=（n+1）×2+n×2²+（n-1）×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ
兩式相減，得A_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ-（n+1）=（9分）
A_n≥11n+p?p≤A_n-11n
令B_n=A_n-11n，
則B_n=（3•2ⁿ-n-3）-11n=3•2ⁿ-12n-3
從而B_n+1-B_n=[3•2ⁿ⁺¹-12（n+1）-3]-（3•2ⁿ-12n-3）=3（2ⁿ-4）．
由上式知：當n=1時，有B₂＜B₁
當n=2時，有B₂=B₃
當n＞2時，B_n+1＞B_n
因此，數列{B_n}的最小項為B₂或B₃．
又B₂=B₃=-15
所以，p≤-15，即p的最大值為-15．（13分）
分析：（1）設第一行的公差為d，則a_1k=a₁₁+（k-1）d，a_ik=[a₁₁+（k-1）d]•2^i-1，由a₂₃=8，a₃₄=20可知a₁₁和d的值，從而得到a_ik的值．
（2）由題意得A_n=2+2²+2³++2^n-1+2×2ⁿ-（n+1）=，A_n≥11n+p?p≤A_n-11n
令B_n=A_n-11n，則B_n=（3•2ⁿ-n-3）-11n=3•2ⁿ-12n-3，從而B_n+1-B_n=3（2ⁿ-4）．由此入手能夠推導出p的最大值為-15．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意錯位相減法和分類討論法的合理運用．