Question

如圖，點P（3，4）為圓x²+y²=25上的一點，點E，F為y軸上的兩點，△PEF是以點P為頂點的等腰三角形，直線PE，PF交圓于D，C兩點，直線CD交y軸于點A，則sin∠DAO的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：要求sin∠DAO的值，由于A為一動點，故無法直接解三角形求出答案，我們可以構造與∠DAO相等的角，然后進行求解，過P點作x軸平行線，交圓弧于G，連接OG根據等腰三角形性質及垂徑定理，結合同角或等角的余角相等，我們可以判斷∠DAO=∠PGO，進而得到結論．
解答：解：過P點作x軸平行線，交圓弧于G，連接OG．
則：G點坐標為（-3，4），PG⊥EF
∵PEF是以P為頂點的等腰三角形
∴PG就是角DPC的平分線
∴G就是圓弧CD的中點
∴OG⊥CD
∴∠DAO+∠GOA=90°．
而∠PGO+∠GOA=90°．
∴∠DAO=∠PGO
∴sin∠DAO=sin∠PGO=．
故答案為：．
點評：本題考查的知識點是三角函數求值，其中利用腰三角形性質及垂徑定理，結合同角或等角的余角相等，構造與∠DAO相等的角∠PGO，是解答本題的關鍵．