Question

已知f(x)=x³+bx²+cx+d在(-¥，0)上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程f(x)=0有三個根，它們分別為a，2，b。

（1）求c的值；

（2）求證f(1)³2；

（3）求|a-b|的取值范圍。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）f ¢(x)=3x2+2bx+c，∵ f(x)在(-¥，0)上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，∴ 當x=0時，f(x)取到極大值，∴ f ¢(0)=0，∴ c=0。 （2）∵ f(2)=0，∴ d=-4(b+2)。f ¢(x)=3x2+2bx=0的兩個根分別為x1=0，，∵ 函數(shù)f(x)在[0，2]上是減函數(shù)，∴ ，∴ b£-3。 ∴ f (1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b³2。 （3）∵ a，2，b是方程f(x)=0的三個根，可設f(x)=(x-a)(x-2)(x-b) ∵ f(x)=x3-(2+a+b)x2+(2a+2b+ab)x-2ab， ∴ ∴ ∴ 。 ∵ b£-3，∴|a-b|³3。