Question

下列命題：
①若A、B、C、D是空間任意四點，則有

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

②

b

≠

0

，則

a

和

b

共線的充要條件是：?λ∈R，使

a

=λ

b

；
③若

a

和

b

共線，則表示

a

和

b

的有向線段所在直線平行；
④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R）且x+y+z=1，則P、A、B、C四點共面．
其中不正確命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由向量加法的三角形法則可判正確；②由向量共線的定理可得正確；③可得表示

a

和

b

的有向線段所在的直線平行，或表示

a

和

b

的有向線段所在的直線為同一條直線；④可得

OP

=x

OA

+y

OB

+(1-x-y)

OC

，由向量的運算性質可得得

CP

=x

CA

+y

CB

，所以向量

CP

，

CA

，

CB

共面，進而可得P、A、B、C四點共面．

解答：解：①A、B、C、D是空間任意四點，由向量加法的三角形法則
可得

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

AC

+

CD

+

DA

=

AD

+

DA

=

0

，故正確；
②由向量共線的定理可得：

b

≠

0

，則

a

和

b

共線的充要條件是：?λ∈R，使

a

=λ

b

，故正確；
③若

a

和

b

共線，則表示

a

和

b

的有向線段所在的直線平行，或表示

a

和

b

的有向線段所在的直線為同一條直線，故錯誤；
④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R）且x+y+z=1，
則可得

OP

=x

OA

+y

OB

+(1-x-y)

OC

，即

OP

-

OC

=x（

OA

-

OC

）+y（

OB

-

OC

），
故可得

CP

=x

CA

+y

CB

，所以向量

CP

，

CA

，

CB

共面，故P、A、B、C四點共面，故正確．
所以不正確命題僅有③，即不正確命題的個數是1．
故選A

點評：本題考查命題真假的判斷與應用，涉及向量的共線和共面的知識，屬基礎題．