Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=C，2b=

3

a．
（1）求cosA的值；
（2）cos(2A+

π

4

)的值．
（3）若已知向量

m

=（

3

cos

x

4

，cos

x

4

），

n

=（sin

x

4

，cos

x

4

）．若

m

•

n

=

2+ 2

4

，求sin（

7π

6

-x）的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知條件以及余弦定理，求cosA的值；
（2）利用（1）的結果，求出sinA，通過二倍角公式求出cos2A，sin2A，利用兩角和的余弦函數直接求解cos(2A+

π

4

)的值．
（3）通過向量

m

=（

3

cos

x

4

，cos

x

4

），

n

=（sin

x

4

，cos

x

4

）．利用

m

•

n

=

2+ 2

4

，求出

x

2

+

π

6

的正弦函數值，利用誘導公式以及二倍角的余弦函數直接求解sin（

7π

6

-x）的值．

解答：解：（1）由B=C，2b=

3

a可得c=b=

3

2

a，
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3 4 a2+ 3 4 a2-a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=

1

3

．
（2）因為cosA=

1

3

，a∈（0，π），所以sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
cos2A=2cos²A-1=-

7

9

，故sin2A=2sinAcosA=

4 2

9

，
∴cos(2A+

π

4

)=cos2Acos

π

4

-sin2Asin

π

4

=-

7

9

×

2

2

-

4 2

9

×

2

2

=-

8+7 2

18

，
（3）向量

m

=（

3

cos

x

4

，cos

x

4

），

n

=（sin

x

4

，cos

x

4

）．

m

•

n

=

2+ 2

4

，（

3

cos

x

4

，cos

x

4

）•（sin

x

4

，cos

x

4

）=

2+ 2

4

．
可得sin（

x

2

+

π

6

）=

2

4

，
sin（

7π

6

-x）=-cos2（

x

2

+

π

6

）=2sin²（

x

2

+

π

6

）-1=

3

4

．

點評：本題考查余弦定理，同角三角函數的基本關系式，二倍角公式的應用，考查計算能力與轉化思想的應用．