Question

20．已知數列{a_n}的第1項為a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n=1，2，3，4，…），通過計算a₁，a₂，a₃，a₄，猜想這個數列的通項公式為a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 根據題意，由數列中a₁的值以及a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，計算可得a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{5}$，a₄=$\frac{1}{7}$，分析可得a₁=1=$\frac{1}{2×1-1}$，a₂=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2×2-1}$，a₃=$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2×3-1}$，a₄=$\frac{1}{7}$=$\frac{1}{2×4-1}$，進而歸納可得答案．

解答 解：根據題意，數列{a_n}中a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，
則a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{1+2×1}$=$\frac{1}{3}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}}{1+2{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1+2×\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{5}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}}{1+2{a}_{3}}$$\frac{\frac{1}{5}}{1+2×\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{7}$，
分析可得a₁=1=$\frac{1}{2×1-1}$，
a₂=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2×2-1}$，
a₃=$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2×3-1}$，
a₄=$\frac{1}{7}$=$\frac{1}{2×4-1}$，
故可以歸納出a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
故答案為：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

點評 本題考查數列的表示方法，涉及歸納推理的運用，關鍵是正確計算該數列的前4項，并分析發現規律．