Question

如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R₁，R₂是曲線C上的動點，R₁，R₂到y軸的距離之和為1，設u為R₁，R₂到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OA的方程，設出，利用中點坐標公式，三角形的面積公式，消去a，b得點M的軌跡C的方程．
（2）設R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，推出u的表達式，令t=x₁•x₂則，推出，利用導數判斷函數的單調性，求出最大的常數使u≥m恒成立．
解答：解：（1）射線．（1分）
設（a＞0，b＞0），
則，（3分）
又因為△POQ的面積為，
所以；（4分）
消去a，b得點M的軌跡C的方程為：（x＞0，y＞0）．（7分）
（2）設R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，（8分）
所以
=（9分）
令t=x₁•x₂則，所以有，（11分）
則有：當時，，
所以在上單調遞減，
所以當時，，（13分）
所以存在最大的常數使u≥m恒成立．（14分）
點評：本題中檔題，考查與直線有關的函數的最值問題曲線的軌跡方程的求法，導數的應用，單調性常常利用導數求解；考查計算能力，轉化思想，是有難度的中檔題，�？碱}型．