Question

已知動點P與雙曲線x²－y²＝1的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為－．

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)設M(0，－1)，若斜率為k(k≠0)的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、B，試求k的取值范圍，使|MA|＝|MB|．

Answer 1

答案：
解析：

＋y2＝1；k∈(－1，0)∪(0，1) (1)∵x2－y2＝1，∴c2＝1＋1＝2，c＝ 設|PF1|＋|PF2|＝2a(常數a＞0)，由2a＞2c＝2，∴a＞ 由余弦定理有cos∠F1PF2＝ 　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　＝－1 ∵|PF1||PF2|≤()2＝a2 ∴當且僅當|PF1|＝|PF2|時，|PF1||PF2|取得最大值a2． 此時cos∠F1PF2取得最小值－1 由題意－1＝－，解得a2＝3 ∴P點的軌跡方程為＋y2＝1 ① (2)設l：y＝kx＋m(k≠0) ② 與①聯立得 ②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 (*) 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點Q(x0，y0)的坐標滿足 x0＝ 即Q(－) ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂線上 ∴klkAB＝k·＝－1 解得m＝ ③ 又由(*)由兩個實數根，知△＞0，即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ 將③代入④得 12[1＋3k2－()2]＞0 解得－1＜k＜1， 由k≠0，∴k的取值范圍是k∈(－1，0)∪(0，1)