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已知Pn是把Pn-1Pn+1線段作n等分的分點中最靠近Pn+1的點,設線段P1P2,P2P3,…,PnPn+1,的長度分別為
a1,a2,a3,…,an,其中a1=1.
(1)寫出a2,a3和an的表達式;
(2)證明a1+a2+a3+…+an<3;
(3)設點Mn(n,an),在這些點中是否存在兩個點同時在函數y=
k(x-1)2
(k>0
)的圖象上,如果存在,請求出點的坐標;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)由于Pn是把Pn-1Pn+1線段作n等分的分點中最靠近Pn+1的點,所以知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1,從而可得
an
an-1
=
1
n-1
,進而利用疊乘即可求出a2,a3和an的表達式;
 (2)對通項進行放縮,再求和,利用等比數列的求和公式即可證明;
(3)假設存在,即可得
(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
,再證明數列bn=
n2
n!
的單調減即可.
解答:解:(1)由已知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1
令n=2,P1P2=P2P3,∴a2=1,同理a3=
1
2
an
an-1
=
1
n-1

an=
1
n-1
an-1=
1
n-1
1
n-2
an-2=…=
1
(n-1)!

(2)∵
1
(n-1)!
=
1
1×2×…×n
1
2n-2

∴a1+a2+a3+…+an≤1+1+
1
2
+…
1
2n-2
=3-(
1
2
)
n-2
<3

而n=1時,結論成立,故a1+a2+a3+…+an<3;
(3)假設有兩個點A(p,ap),B(q,aq),都在函數y=
k
(x-1)2
上,即ap=
k
(p-1)2
aq=
k
(q-1)2

所以
(p-1)2
(p-1)!
=k
(q-1)2
(q-1)!
=k
,消去k得
(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
 ①,以下考查數列bn=
n2
n!
的增減情況,
bn-bn-1=
n2
n!
-
(n-1)2
(n-1)!
=-
n2-3n+1
(n-1)!

當n>2時,n2-3n+1>0,所以對于數列{bn}為遞減數列
∴不可能存在p,q使得①式成立,因而不存在.
點評:本題以線段為載體,考查數列的通項,考查放縮法的運用,考查函數的單調性,綜合性強.
練習冊系列答案
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(2008•上海模擬)已知AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長軸,若把該長軸n等分,過每個等分點作AB的垂線,依次交橢圓的上半部分于點P1,P2,…,Pn-1,設左焦點為F1,則
lim
n→∞
1
n
(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn-1|+|F1B|)
=
a
a

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知AB是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的長軸,若把該長軸n等分,過每個等分點作AB的垂線,依次交橢圓的上半部分于點P1,P2,…,Pn-1,設左焦點為F1,則
lim
n→∞
1
n
(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn-1|+|F1B|)
=
2
2

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科目:高中數學 來源:湖南省期中題 題型:解答題

已知Pn是把Pn-1Pn+1線段作n等分的分點中最靠近Pn+1的點,設線段P1P2,P2P3,…,PnPn+1,的長度分別為a1,a2,a3,…,an,其中a1=1。
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(2)證明a1+a2+a3+…+an<3;
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(2)證明a1+a2+a3+…+an<3;
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