Question

溫州某私營(yíng)公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，根據(jù)歷年的情況可知，生產(chǎn)該產(chǎn)品每天的固定成本為14000元，每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，成本增加210元．已知該產(chǎn)品的日銷售量f（x）與產(chǎn)量x之間的關(guān)系式為f(x)=

1 625 x2，0≤x≤400 256，x＞400

，每件產(chǎn)品的售價(jià)g（x）與產(chǎn)量x之間的關(guān)系式為g(x)=

- 5 8 x+750，0≤x≤400 500，x＞400

．
（Ⅰ）寫出該公司的日銷售利潤(rùn)Q（x）與產(chǎn)量x之間的關(guān)系式；
（Ⅱ）若要使得日銷售利潤(rùn)最大，每天該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（I）先求出總成本c（x）的函數(shù)，然后根據(jù)日銷售利潤(rùn)Q（x）=f（x）g（x）-c（x）求出所求；
（II）討論x的范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，分別求出最值，從而求出整個(gè)函數(shù)的最值，從而得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）總成本為c（x）=14000+210x．（1分）
所以日銷售利潤(rùn)Q（x）=f（x）g（x）-c（x）=

- 1 1000 x3+ 6 5 x2-210x-14000，0≤x≤400 -210x+114000，x＞400

．（5分）
（Ⅱ）①當(dāng)0≤x≤400時(shí)，Q/(x)=-

3

1000

x2+

12

5

x-210．
令Q′（x）=0，解得x=100或x=700．
于是Q（x）在區(qū)間[0，100]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[100，400]上單調(diào)遞增，
所以Q（x）在x=400時(shí)取到最大值，且最大值為30000；（8分）
②當(dāng)x＞400時(shí)，Q（x）=-210x+114000＜30000．
綜上所述，若要使得日銷售利潤(rùn)最大，每天該生產(chǎn)400件產(chǎn)品，其最大利潤(rùn)為30000元．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，屬于基礎(chǔ)題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．