Question

10．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，則二面角A-CD-B的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 取BD中點O，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-CD-B的余弦值．

解答 解：設正方形ABCD的邊長為$\sqrt{2}$，取BD中點O，
以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，
則C（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1），
$\overrightarrow{AC}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-1），
設平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面CBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角A-CD-B的平面角為θ，
cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•\overrightarrow{|m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-CD-B的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．