Question

18.f（x）是定義在［0,1］上的增函數，滿足f（x）=2f（）且f（1）=1,在每個區間（,）（i=1,2,…）上，y=f（x）的圖象都是斜率為同一常數k的直線的一部分.

（Ⅰ）求f（0）及f（），f（）的值，并歸納出f（）（i=1,2,…）的表達式；

（Ⅱ）設直線x=，x=、x軸及y=f（x）的圖象圍成的梯形的面積為a_i（i=1,2,…）,記S（k）=（a₁+a₂+…+a_n）,求S（k）的表達式，并寫出其定義域和最小值.

Answer 1

18.主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.

解：

（Ⅰ）由f（0）=2f（0）,得f（0）=0.

由f（1）=2f（）及f（1）=1,得f（）=f（1）=.

同理，f（）=f（）=.

歸納得f（）=（i=1,2,…）.

（Ⅱ）當＜x≤時，f（x）=+k（x－）,

a_i=［++k（－）］（－）

   =（1－）（i=1,2,…）.

所以｛a_n｝是首項為（1－）,公比為的等比數列,

S（k）的定義域為0＜k≤1,當k=1時取得最小值.