Question

如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F₂，線段OF₁，OF₂的中點分別為B₁，B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形。

（1）求該橢圓的離心率和標準方程；
（2）過B₁作直線交橢圓于P，Q兩點，使PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面積。

Answer 1

解：（1）設橢圓的方程為，F₂（c，0）
∵△AB₁B₂是直角三角形，|AB₁|=|AB₂|，
∴∠B₁AB₂為直角，
從而|OA|=|OB₂|，
即
∵c²=a²-b²，
∴a²=5b²，c²=4b²，
∴
在△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，
∴S=|B₁B₂||OA|=
∵S=4，
∴b²=4，
∴a²=5b²=20
∴橢圓標準方程為；
（2）由（1）知B₁（-2，0），B₂（2，0），
由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my-2代入橢圓方程，
消元可得（m²+5）y²-4my-16-0①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
∵，
∴=
∵PB₂⊥QB₂，
∴
∴，
∴m=±2當m=±2時，①可化為y²±8y-16-0，
∴|y₁-y₂|==
∴△PB₂Q的面積S=|B₁B₂||y₁-y₂|=×4×=。