Question

設V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足f(

a

)=

0 ， a = 0 1 | a | a ， a ≠ 0 .

，則對?

a

、

b

∈V，?λ∈R，下列結論恒成立的是（　　）

A．f( a + b )=f( a )+f( b )	B．f（| a |• a +| b | b ）=f[f（ a ）+f（ b ）]
C．f（| a |• a ）=f（ a ）	D．f（| b |• a +| a | b ）=f[f（ a ）+f（ b ）]

Answer 1

根據題意，映射f（

a

）的對應法則是將零向量對應到零向量，
將一個非零向量對應到與之同向的單位向量，因此可得
對于A，若向量

a

、

b

是方向相反且模不相等的兩個非零向量，
則f(

a

+

b

)=

1

| a + b |

(

a

+

b

)≠

0

，且f(

a

)+f(

b

)=

1

| a |

a

+

1

| b |

b

=

0

，
所以f(

a

+

b

)≠f(

a

)+f(

b

)，得A項不正確；
對于B，若向量

a

、

b

是方向相反且模不相等的兩個非零向量，則|

a

|•

a

+|

b

|

b

不是零向量，
可得f（|

a

|•

a

+|

b

|

b

）=

1

|| a |• a +| b |• b |

(|

a

|•

a

+

|b|

•

b

)≠

0

而f[f（

a

）+f（

b

）]=f（

0

）=

0

，故f（|

a

|•

a

+|

b

|

b

）≠f[f（

a

）+f（

b

）]，可得B項不正確；
對于C，若

a

=

0

，則f（|

a

|•

a

）=f（

a

）=

0

；
若

a

≠

0

，則f（|

a

|•

a

）=

1

| a |

a

且f（

a

）=

1

| a |

a

，得f（|

a

|•

a

）=f（

a

）
由以上的分析，可得對任意向量

a

，均有f（|

a

|•

a

）=f（

a

）成立，故C項正確；
對于D，若向量

a

=

0

且

b

≠

0

，則f（|

b

|•

a

+|

a

|

b

）=f（

0

）=

0

而f[f（

a

）+f（

b

）]=f[

0

+

1

| b |

•

b

）=

1

| b |

•

b

≠

0

，
因此，f（|

b

|•

a

+|

a

|

b

）≠f[f（

a

）+f（

b

）]，可得D項不正確
故選：C