Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點在拋物線： 上，直線： 與拋物線交于， 兩點，且直線， 的斜率之和為-1.

（1）求和的值；

（2）若，設直線與軸交于點，延長與拋物線交于點，拋物線在點處的切線為，記直線， 與軸圍成的三角形面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】試題分析：（1）將點代入拋物線： ，得，聯立直線與拋物線方程，消去，得，則， ，由，求出；（2）求出直線DM的方程為，聯立直線DM的方程和拋物線的方程，求出，利用導數的幾何意義，求出切線n的斜率為，得到切線n的方程，聯立直線DM、n的方程，求出Q點的縱坐標，且，采用導數的方法得出單調性，由單調性求出最小值。

試題解析：（1）將點代入拋物線： ，得，

，得，

設， ，則， ，

解法一： ，

由已知得，所以， .

解法二： ，

由已知得.

（2）在直線的方程中，令得， ，

直線的方程為： ，即，

由，得，

解得： ，或，所以，

由，得， ，切線的斜率，

切線的方程為： ，即，

由，得直線、交點，縱坐標，

在直線， 中分別令，得到與軸的交點， ，

所以 ， ， ，

當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增；

∴當時， 最小值為.