Question

如圖，在體積為V₁的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為所在邊的中點，正方體的外接球的體積為V，有如下四個命題；①BD₁=3AB；②BD₁與底面ABCD所成角是45°；
③；④MN∥平面D₁BC．其中正確命題的個數為

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

C
分析：本題綜合考查了空間中直線與平面之間的位置關系，球與正方體的體積等多個知識點，由BD₁為正方體的對角線等于棱長的倍等于正方體外接球的直徑，我們易得①錯誤，②錯誤，③正確，根據線面平行的證明辦法，我們易證④正確，分析后，即可給出答案．
解答：高正方體邊長為a，則BD₁為正方體的對角線長，
故BD₁=a=AB，故①BD₁=3AB錯誤；
則BD₁與底面ABCD所成角為∠D₁BD
∵D₁D⊥底面ABCD，則cos∠D₁BD==≠
故②BD₁與底面ABCD所成角是45°錯誤；
此時正方體的外接圓直徑為BD₁，
即R=a，則V₁=a³
V₂==
故③正確
取CD₁的中點E，連接BE后，易證MN∥BE，
根據線面平面的判定定理我們易得④MN∥平面D₁BC正確
故選C
點評：正方體的內切球直徑等于棱長，正方體的外接球直徑等于對角線長，等于棱長的倍．