Question

已知函數f（x）=log_a

x-2

x+2

（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；  
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）是否存在實數，使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

（1）∵

x-2

x+2

＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函數f（x）的定義域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）=loga

-x-2

-x+2

=loga

x+2

x-2

=-loga

x-2

x+2

=-f（x）．
及由（1）可知：函數f（x）的定義域關于原點對稱．
∴函數f（x）是奇函數．
（3）假設存在這樣的實數a，則由m＜n，log_am及loga

m-2

m+2

由意義，
可知2＜m＜n．
由∵1+log_an＜1+log_am，∴log_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
令t=

x-2

x+2

，則t=1-

4

x+2

在區間[m，n]（m＞2）上單調遞增，
∴函數f（x）=loga

x-2

x+2

在區間[m，n]上單調遞減．
∴

f(m)=loga m-2 m+2 =1+logam f(n)=loga n-2 n+2 =1+logan

，
∴m，n是方程loga

x-2

x+2

=1+logax的兩個大于2的根．方程可化為

x-2

x+2

=ax，即ax²+（2a-1）x+2=0．
上述問題?關于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個不相等的實數解．
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
則有

△=(2a-1)2-8a＞0 g(2)=8a＞0 - 2a-1 2a ＞2

，解得

a＞ 3+2 2 2 或a＜ 3-2 2 2 a＞0 0＜a＜ 1 6

．

解得0＜a＜

3-2 2

2

．
又0＜a＜1，
∴0＜a＜

3-2 2

2

．
故存在這樣的實數a，且a的取值范圍為(0，

3-2 2

2

)．