Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD，∠ABC=60°，N為線段PC上一點，CN=3NP，M為AD的中點．
（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）求點N到平面 PAB的距離．

Answer 1

分析 （1）過N作NE∥BC，交PB于點E，連AE，推導出四邊形AMNE是平行四邊形，從而MN∥AE，由此能證明MN∥平面PAB．
（2）連接AC，推導出AC⊥AB，PA⊥AC，從而AC⊥平面PAB，由此能求出N點到平面PAB的距離．

解答 證明：（1）過N作NE∥BC，交PB于點E，連AE，
∵CN=3NP，∴EN∥BC且EN=$\frac{1}{4}$BC，
又∵AD∥BC，BC=2AD=4，M為AD的中點，
∴AM∥BC且AM=$\frac{1}{4}$BC，
∴EN∥AM且EN=AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE，
又∵MN?平面PAB，AE?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．…（6分）
解：（2）連接AC，在梯形ABCD中，
由BC=2AD=4，AB=CD，∠ABC=60°，得AB=2，
∴AC=2$\sqrt{3}$，AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．
又∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．
又∵CN=3NP，
∴N點到平面PAB的距離d=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求不地，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．