Question

已知某企業的原有產品，每年投入x萬元，可獲得的年利潤可表示為函數：P（x）=-·（x-30）²+8（萬元）.現開發一個回報率高、科技含量高的新產品，據預測，新產品每年投入x萬元，可獲得年利潤Q（x）=-（100-x）²+(100-x)（萬元）.新產品開發從“十五”計劃的第一年開始，用兩年時間完成.這兩年，每年從100萬元的生產準備金中，拿出80萬元來投入新產品開發.從第三年開始這100萬元全部用于新舊兩種產品的生產投入.

（1）為了解決資金缺口，第一年初向銀行貸款1 000萬元，利率為5.5%（不計復利），第五年底一次性應向銀行償還本息共計多少萬元？

（2）從新產品投產的第三年開始，從100萬元的生產準備金中，新舊兩種產品各應投入多少萬元，才能使年利潤最大？

（3）從新舊產品的五年總利潤中最高拿出70%來，能否還清對銀行的欠款？

Answer 1

解析：（1）五年利息是1 000×0.055×5=275（萬元），本利和為1 275萬元.

（2）設從第三年年初起每年舊產品投入x萬元，新產品投入（100-x）萬元，于是每年的利潤是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）²+8］+{-［100-(100-x)］²+［100-(100-x)］}=(-x²+x-1)+(-x²+x)=-x²+52x-1=-(x-26)²+675.

    ∴投入舊產品26萬元，新產品74萬元時，每年可獲得最大的利潤，最大利潤是675萬元.

    （3）因為P（x）在（0，30］上是增函數，所以在100萬元的生產準備金中除用于新產品開發外，剩余的20萬元全部投入即可得到最大利潤.于是，頭2年的利潤是W₁=2×P（20）=14（萬元）；后3年的利潤是W₂=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2 025（萬元），故5年的總利潤是W=W₁+W₂=2 039萬元，又2 039×70%=1 427.3＞1 275，所以從新舊產品的五年總利潤中拿出70%來，能夠還清對銀行的欠款.