Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸為半徑的圓與直線2x﹣ y+6=0相切．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知點A，B為動直線y=k（x﹣2）（k≠0）與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在點E，使 2+ 為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：）由離心率為 ，得 = ，

即c= a，①

又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2，

且與直線 相切，

所以 ，代入①得c=2，

所以b2=a2﹣c2=2．

所以橢圓C的標準方程為 + =1．

（2）解：由 ，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，

△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即為6+6k2＞0恒成立．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

所以x1+x2= ，x1x2= ，

根據題意，假設x軸上存在定點E（m，0），

使得 為定值，

則有 =（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）

=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）

=（k2+1） ﹣（2k2+m） +（4k2+m2）

= ，

要使上式為定值，即與k無關，則應3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），

即 ，此時 = 為定值，定點E為 ．

【解析】（1）求得圓O的方程，由直線和圓相切的條件：d=r，可得a的值，再由離心率公式，可得c的值，結合a，b，c的關系，可得b，由此能求出橢圓的方程；（2）由直線y=k（x﹣2）和橢圓方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出在x軸上存在點E，使 為定值，定點為（ ，0）．