Question

定義在R上的單調函數f(x)滿足對任意x，y均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=1。
（1）求f(0)的值，并判斷f(x)的奇偶性；
（2）解關于x的不等式：f(x-x²+2)+f(2x)+2＜0。

Answer 1

解：（1）令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，
∴f(0)=0，
令y=-x，則有f(0)=f(x)+f(-x)，
∵f(0)=0，
∴對任意x∈R，有f(-x)=-f(x)成立，
∴函數f(x)為奇函數。
（2）由函數f(x)為R上的單調函數，且，可知函數f(x)在上單調遞增，
∴原不等式等價于，
，
又函數f(x)為奇函數，
∴，
∴，
∴，即，
∴原不等式的解集為或。