Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=l，AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，K是AC中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

（Ⅰ）求證：PN⊥AM；
（Ⅱ）求三棱錐P-MNK的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過證明AB⊥平面ACC₁A₁，說明AB⊥AM，證明AM⊥NK，然后證明AM⊥平面A₁KNP，即可求證：PN⊥AM；
（Ⅱ）通過AB∥NK，所以A₁B₁∥NK，則P到平面MNK的距離是定值，利用四面體體積不變，轉化頂點是方法，采用等體積求三棱錐P-MNK的體積．

解答：解：（Ⅰ）因為AC中點為K，則N，K，A₁，P四點在一個平面內，
由于AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥AB，又AB⊥AC，所以AB⊥平面ACC₁A₁，所以AB⊥AM，
所以AB⊥AM，又AB∥NK，所以AM⊥NK，
在正方形中，利用相似可知AM⊥A₁K，
故AM⊥平面A₁KNP，
所以PN⊥AM；
（Ⅱ）因為K是AC的中點，所以AB∥NK，所以A₁B₁∥NK，則P到平面MNK的距離是定值，等于A₁到MNK的距離，
三棱錐P-MNK的體積與三棱錐N-MA₁K的體積相等．有（1）知AB⊥平面ACC₁A₁，N到平面ACC₁A₁，的距離為

1

2

AB=

1

2

，
MA₁K的面積為：1-2×

1

2

×1×

1

2

-

1

2

×

1

2

×

1

2

=

3

8

，
所以三棱錐N-MA₁K的體積為：

1

3

×

3

8

×

1

2

=

1

16

，
所求棱錐的體積為：

1

16

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力與轉化思想的應用．