Question

如圖，正方體AC₁的棱長為a，求：?

(1)A₁A與BC所成的角與距離；

(2)A₁A與B₁C所成的角與距離；

(3)AD₁與B₁C所成的角與距離；

(4)BD₁與AC所成的角；

(5)AD₁與BD所成的角與距離；

(6)若E、F分別為AB、BC的中點，則D₁E和B₁F所成的角的大小.

Answer 1

解析：(1)∵BC∥AD，?

∴∠A₁AD或其補角即為A₁A與BC所成的角.?

在立方體中易知∠A₁AD=90°.?

∴A₁A與BC所成的角為90°.?

由AB⊥A₁A，AB⊥BC，?

∴AB=a,即為A₁A與BC的距離.?

 (2)∵BB₁∥AA₁,?

∴∠BB₁C或其補角即為A₁A與B₁C所成的角.?

在立方體中易知∠BB₁C=45°.?

∴A₁A與BC所成的角為45°.?

由A₁B₁⊥A₁A，A₁B₁⊥B₁C，?

∴A₁B₁=a，即為A₁A與BC的距離.?

 (3)連結BC₁交B₁C于F，則BC₁∥AD₁.?

∴∠BFC或其補角即為AD₁與B₁C所成的角，在立方體中易知∠BFC=90°.?

∴A₁A與BC所成的角為90°.?

取AD₁的中點E，連結EF.?

則EF∥AB，而AB⊥AD₁，?

∴EF⊥AD₁.?

同理可得EF⊥B₁C.?

∴EF即為AD₁與B₁C的距離.?

由EF=AB=a，?

∴AD₁與B₁C的距離為a.?

 (4)延長DA到N，使DA=AN，連結BN、D₁N，則BN∥AC.?

∴∠D₁BN或其補角即為BD₁與AC所成的角.?

∵棱長為a，∴BN=AC=2a,D₁N=5a,D₁B=3a.?

由勾股定理可得∠D₁BN=90°.?

∴BD₁與AC所成角為90°.?

(5)連結B₁D₁、AB₁，則BD∥B₁D₁.?

 

∴∠AD₁B₁或其補角即為AD₁與BD所成角.?

在立方體中易知△AB₁D₁為等邊三角形.?

∴∠AD₁B₁=60°.

∴AD₁與BD所成角為60°.?

取AD的中點M，連結A₁M交AD₁于H，連結CM交BD于G，連結GH、A₁C.則GH∥A₁C且GH=.

由上題可知A₁C⊥BD，A₁C⊥AD₁.?

GH即為AD₁與BD的距離.?

通過計算得GH =.?

∴AD₁與BD所成角與距離分別為60°,.?

   (6)延長AD到G，使DG=，連結D₁G、GE，則D₁G∥B₁F.?

∴∠ED₁G或其補角即為D₁E與B₁F所成角.?

在△ED₁G中，D₁G=,?EG=,D₁E=

cos∠ED₁G=.?

∴D₁E與B₁F所成角為arccos.