Question

（08年天津卷）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．滿分12分．

（Ⅰ）證明：在中，由題設可得

于是.在矩形中，.又，

所以平面．

（Ⅱ）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.

在中，由余弦定理得

 

 

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，故．

所以異面直線與所成的角的大小為．

（Ⅲ）解：過點P做于H，過點H做于E，連結PE

因為平面，平面，所以.又，

因而平面，故HE為PE再平面ABCD內的射影.由三垂線定理可知，

，從而是二面角的平面角。

由題設可得，

于是再中，

所以二面角的大小為．