Question

已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

證明：必要性:?

∵a+b=1,即b=1-a,?

∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.?

充分性:∵a³+b³+ab-a²-b²=0,即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0,?

∴(a²-ab+b²)(a+b-1)=0.又ab≠0,即a≠0且b≠0,?

∴a²-ab+b²=(a-)²+≠0,只有a+b=1.?

綜上可知,當ab≠0,a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

點評:證明充要條件,需要證明原命題和逆命題都成立,但要分清必要性、充分性分別是什么命題.