Question

某汽車駕駛學校在學員結業前，對學員的駕駛技術進行4次考核，規定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核．若學員小李獨立參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為

1

8

的等差數列，他參加第一次考核合格的概率不超過

1

2

，且他直到第二次考核才合格的概率為

9

32

．
（1）求小李第一次參加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李參加考核的次數ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）小李獨立參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為

1

8

的等差數列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，這兩個事件是相互獨立的，寫出概率的關系式，列出方程，得到結果．
（2）小李參加考核的次數ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次為

1

4

，

3

8

，

1

2

，

5

8

，根據相互獨立事件同時發生的概率，得到分布列和期望．

解答：解：（1）小李獨立參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為

1

8

的等差數列，
且他直到第二次考核才合格的概率為

9

32

．
得（1-p₁）（p₁+

1

8

）=

9

32

，
解得p₁=

1

4

或p₁=

5

8

．
∵p₁≤

1

2

，∴p₁=

1

4

，
即小李第一次參加考核就合格的概率為

1

4

（2）由（1）的結論知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次為

1

4

，

3

8

，

1

2

，

5

8

，
∴P（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

9

32

，
P（ξ=3）=（1-

1

4

）（1-

3

8

）

1

2

=

15

64

P（ξ=4）=（1-

1

4

）•（1-

3

8

）•（1-

1

2

）•1=

15

64

∴小李參加測試的次數的數學期望為Eξ=1•

1

4

+2•

9

32

+3•

15

64

+4•

15

64

=

157

64

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個綜合題目．