Question

【題目】已知O是坐標原點，拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線交拋物線C于A，B兩點，Q為拋物線C的準線上一點，且.

（1）求Q點的坐標；

（2）設與直線垂直的直線與拋物線C交于M，N兩點，過M，N分別作拋物線C的切線，設直線與交于點P，若，求外接圓的標準方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設.根據.，即.聯立直線和拋物線方程用韋達定理設而不求根據代入點的坐標即可求得Q點的坐標；（2）設直線與拋物線聯立，根據，即求出M,N兩點橫坐標之和和之積。MN為外接圓的直徑，求出MN的中點坐標和MN的長的一半即為半徑，從而求得外接圓的標準方程。

（1）由已知得直線的方程為：，設.

由得，.∴.

由得.

∴，解得.∴Q點的坐標為.

（2）設，，直線，

由已知得，，

解得.由題意得，即.

∴，.

∵，∴，解得.∴，

∴，∴.∴MN為外接圓的直徑.

又∵，

，

∴外接圓的圓心為，半徑為.

∴外接圓的標準方程為.