Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，E、F分別是SC、SD的中點，SA=AD=2，
（I）求證：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求證．SD⊥平面AEF；
（Ⅲ）求直線BF與平面SAD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質證明EF∥CD，再證明EF∥AB，利用線面平行的判定，即可證明EF∥平面SAB；
（Ⅱ）利用線面垂直的判定，先證明AB⊥平面SAD，再證明SD⊥平面AEF；
（Ⅲ）先說明∠AFB是直線BF與平面SAD所成的角，再在直角三角形AFB中求直線BF與平面SAD所成角的大小．
解答：（Ⅰ）證明：∵E、F分別為SC、SD的中點，
∴EF是△SCD的邊CD的中位線
∴EF∥CD
∵四邊形ABCD為矩形
∴CD∥AB，∴EF∥AB
∵AB?平面SAB，EF?平面SAB
∴EF∥平面SAB
（Ⅱ）證明：∵SA=AD，F為SD的中點，
∴SD⊥AF
∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥SA
∵AB⊥AD，SA，AD是平面SAD內的兩條相交直線
∴AB⊥平面SAD
∵SD?平面SAD，∴SD⊥AB
∵EF∥AB
∴SD⊥EF
∵AF、EF是平面AEF內的兩條相交直線
∴SD⊥平面AEF
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）AB⊥平面SAD，∴AF是BF在平面SAD上的射影
∴∠AFB是直線BF與平面SAD所成的角
在直角三角形AFB中，
∴∠AFB=60°
點評：本題考查線面平行、線面垂直的判定方法，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，掌握線面平行、線面垂直的判定方法是關鍵．