Question

設函數f(x)=

1 a x，0≤x≤a   1 1-a (1-x)， a＜x≤1

常數且a∈（0，1）．
（1）當a=

1

2

時，求f（f（

1

3

））；
（2）若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，但f（x₀）≠x₀，則稱x₀為f（x）的二階周期點，試確定函數有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x₁，x₂；
（3）對于（2）中x₁，x₂，設A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（a²，0），記△ABC的面積為s（a），求s（a）在區間[

1

3

，

1

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）當a=

1

2

時，求f（

1

3

）=

2

3

，故f（f（

1

3

））=f（

2

3

）=2（1-

2

3

）=

2

3

（2）f（f（x））=

1 a2 x，0≤x≤a2 1 a(1-a) (a-x)，a2＜x≤a 1 (1-a)2 (x-a)，a＜x≤a2-a+1 1 a(1-a) (1-x)，a2-a+1＜x≤1

當0≤x≤a²時，由

1

a2

x=x，解得x=0，因為f（0）=0，故x=0不是函數的二階周期點；
當a²＜x≤a時，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

a

-a2+a+1

∈(a2，a)
因為f（

a

-a2+a+1

）=

1

a

×

a

-a2+a+1

=

1

-a2+a+1

≠

a

-a2+a+1

，
故x=

a

-a2+a+1

是函數的二階周期點；
當a＜x≤a²-a+1時，由

1

(1-a)2

(x-a)=x，解得x=

1

2-a

∈（a，a²-a+1），因為f（

1

2-a

）=

1

2-a

，故得x=

1

2-a

不是函數的二階周期點；
當a²-a+1＜x≤1時，由

1

a(1-a)

(1-x)=x，解得x=

1

-a2+a+1

∈（a²-a+1，1），因為f（

1

-a2+a+1

）=

a

-a2+a+1

≠

1

-a2+a+1

，故x=

1

-a2+a+1

是函數的二階周期點；
因此函數有兩個二階周期點，x₁=

a

-a2+a+1

，x₂=

1

-a2+a+1

（3）由（2）得A（

a

-a2+a+1

，

a

-a2+a+1

），B（

1

-a2+a+1

，

1

-a2+a+1

）
則s（a）=S_△OCB-S_△OCA=

1

2

×

a2(1-a)

-a2+a+1

，所以s′（a）=

1

2

×

a(a3-2a2-2a+2)

-a2+a+1

，
因為a∈（

1

3

，

1

2

），有a²+a＜1，所以s′（a）=

1

2

×

a(a3-2a2-2a+2)

-a2+a+1

=

a[(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)]

(-a2+a+1)2

×

1

2

＞0（或令g（a）=a³-2a²-2a+2利用導數證明其符號為正亦可）
s（a）在區間[

1

3

，

1

2

]上是增函數，
故s（a）在區間[

1

3

，

1

2

]上的最小值為s（

1

3

）=

1

33

，最大值為s（

1

2

）=

1

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