Question

設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且△PF₁F₂的面積為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

Answer 1

分析：由雙曲線方程，算出焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)，從而得到|F₁F₂|=6．根據(jù)△PF₁F₂的面積為6，算出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，代入雙曲線方程即可算出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：∵雙曲線的方程是，
∴a²=4且b²=5，可得c==3
由此可得雙曲線焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）
設(shè)雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），
可得△PF₁F₂的面積S=|F₁F₂|•n=6，
即×6×n=6，解得n=2
將P（m，2）代入雙曲線方程，得，解之得m=．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
故答案為
點(diǎn)評：本題給出雙曲線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成面積為6的三角形，求該點(diǎn)的坐標(biāo)，著重考查了三角形面積公式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．