Question

已知點H(-3,0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足·=0,=-.

(1)當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；

(2)過點T(-1,0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E(x₀,0)，使得△ABE為等邊三角形，求x₀的值.

Answer 1

解：(1)設點M(x,y),由=-P(0,-),Q(,0).

    由·=0y²=4x.

    ∵點Q在x軸的正半軸上，x＞0,

    ∴點M的軌跡C是以(0,0)為頂點，以(1,0)為焦點的拋物線(除去原點).

    (2)設直線l:y=k(x+1)(k≠0),代入y²=4xk²x²+2(k²-2)x+k²=0.

    設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁+x₂=-,x₁x₂=1.

    ∴線段AB垂直平分線的方程為y-=-(x-).

    令y=0x₀=+1點E(+1,0).

    ∵△ABC為正三角形，∴點E到直線AB的距離為|AB|,

    點E到直線AB的距離為.

    又|AB|==·,

    ∴=k=±,x₀=.