Question

已知圓O：x²+y²=4，點A（

3

，0），以線段AB為直徑的圓O₁內切于圓O，記點B的軌跡為Γ．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）當OB與圓O₁相切時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設切點為P，連OO₁，O₁P，利用兩圓相內切的性質可得：|OO₁|+|O₁P|=|OP|=2，取A關于y軸的對稱點A′，連A′B，利用三角形的中位線定理可得：|A′B|+|AB|=2（|OO₁|+|O₁P|）=4．再利用橢圓的定義即可得出．
（II）OB與圓O₁相切，∴

OB

⊥

AB

．設B（x₀，y₀），可得x0(x0-

3

)+

y

2 0

=0，又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，解得B，再利用斜率計算公式、點斜式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設切點為P，連OO₁，O₁P，
則|OO₁|+|O₁P|=|OP|=2，
取A關于y軸的對稱點A′，連A′B，
故|A′B|+|AB|=2（|OO₁|+|O₁P|）=4．
∴點B的軌跡是以A′，A為焦點，長軸長為4的橢圓．
其中，a=2，c=

3

，b=1，
則曲線Γ的方程為

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）∵OB與圓O₁相切，∴

OB

⊥

AB

．設B（x₀，y₀），
則x0(x0-

3

)+

y

2 0

=0，又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，解得x0=

2

3

，y0=±

2

3

．
∴kOB=±

2

2

，k_AB=-

2

或

2

，則直線BA的方程為：y=±

2

(x-

3

)．
即x+y-

6

=0或

2

x-y-

6

=0．

點評：本題考查了兩圓相內切的性質、三角形中位線定理、橢圓的定義及其標準方程、垂直與向量的數量積關系、點斜式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．