Question

如圖,在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中,AC=AB=AA₁=a,∠CAB=90⁰,  D、E分別為棱AA₁、A₁B₁的中點。

（1）求二面角B-C₁D-C的平面角的余弦值；

（2）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面C₁BD?若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）延長CA交C₁D于K，連結BK，過A做AT⊥C₁K,垂足為T.，

       由AA₁⊥AB,AC⊥AB,AC∩AA₁=A得AB⊥平面AA₁C₁C

AB⊥C₁K ∠ATB為二面角B-C₁D-C的平面角       

C₁K=a, AT= BT=a    cos∠ATB=

二面角B-C₁D-C的平面角的余弦值；         

   （2）存在點F為線段AC中點

無論F在何處，總有EF在平面AB₁內的射影與DB垂直故只需EF與C₁D垂直

F位AC中點時又EF在平面AC₁內的射影與C₁D垂直此時EF⊥平面C₁BD