Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求證：對任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小為60°，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點，DA，DC，DS的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求出，的坐標，計算向量的數量積，只要說明數量積與λ無關即可；
（2）分別求出平面ADE與平面ACE的一個法向量，利用二面角C-AE-D的大小為60°建立兩法向量的關系式，求出λ的值即可．
解答：解：以D為原點，DA，DC，DS的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（a，0，0），
B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），
（1）證明：∵=（-a，a，0），
=（-a，-a，λa），=（a，0，-λa），=（0，a，-λa）．
∴•=（-a，a，0）•（-a，-a，λa）
=a²-a²+0•λa=0，
即對任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE．
（2）=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量．
設平面ACE的一個法向量為n=（x，y，z），
則n⊥E，n⊥E，
∴即
取z=1，得n=（λ，λ，1）．
∴cos60°═?=2|λ|．
由λ∈（0，1]，解得λ=．
點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及空間中直線與直線之間的位置關系，屬于基礎題．