Question

函數f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的圖象如圖所示．
（1）若函數f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0，求函數f（x）的解析式
（2）在（1）的條件下，是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖象過點（0，3）求出d，再利用1是極值點求出c，利用切線的斜率為-3得f′（2）=-3且f（2）=5求出a，b即可得函數f（x）的解析式；
（2）由題意可得：x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個不相等的實根，等價于g（x）=x³-7x²+8x與y=m有三個不同的交點，利用導數可求函數的極大與極小，即可得m的取值范圍．

解答：解：（1）由圖可知函數f（x）的圖象過點（0，3），且f′（1）=0，
∴

d=3 3a+2b+c-3a-2b=0

，

d=3 c=0

----3
依題意f′（2）=-3且f（2）=5，解得a=1，b=-6
所以f（x）=x³-6x²+9x+3----6
（2）由題意可得：x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個不相等的實根，
即g（x）=x³-7x²+8x與y=m有三個不同的交點g′（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4）

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，4)	4	（4，+∞）
g′（x）	+	0	_	0	+
g（x）	增	極大	減	極小	增

則g(

2

3

)=

68

27

，g（4）=-16，故m的取值范圍是(-16，

68

27

)----12

點評：本題考查利用導數求函數的極值，及導數的幾何意義，考查根的個數的應用和數形結合思想的應用．解題的關鍵是將方程根的問題轉化為圖象的交點問題．