Question

已知關(guān)于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的兩根分別為x₁、x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，可令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)得到，然后在平面直角坐標(biāo)系中，做出滿足條件的可行域，分析的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合可求得1+的范圍，繼而可求得的取值范圍．
解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，
故函數(shù)f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上，
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂
則 即．
即其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：
∵若a=0，由得-1＜b＜-3，這不可能，故a≠0，
∴=，
∵=，其幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
由得P（-2，1），
∴==-，=-2，
∴-1＜+1＜．
若-1＜+1＜0，則＜-1，
若0＜+1＜，則＞2．
∴的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個(gè)二次之間的關(guān)系，線性規(guī)劃，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到 是解答本題的關(guān)鍵，考查化歸思想與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．