Question

（03年上海卷理）（14分）

已知集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

   （1）函數f(x)= x 是否屬于集合M？說明理由；

   （2）設函數f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：

        f(x)=a^x∈M；

   （3）若函數f(x)=sinkx∈M ,求實數k的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）對于非零常數T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因為對任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=

（2）因為函數f(x)=a^x（a>0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，

所以方程組：有解，消去y得a^x=x,

顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數T，使a^T=T.

于是對于f(x)=a^x有 故f(x)=a^x∈M.

（3）當k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M.

當k≠0時，因為f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常數T，對任意x∈R，有

f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .

因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，

只有T=，當T=1時，sin(kx+k)=sinkx 成立，則k=2mπ, m∈Z .

當T=－1時，sin(kx－k)=－sinkx 成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

則－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .

綜合得，實數k的取值范圍是{k|k= mπ, m∈Z}