Question

已知sinθ，sinx，cosθ成等差數列，sinθ，siny，cosθ成等比數列．證明：2cos2x=cos2y．

Answer 1

證明：∵sinθ與cosθ的等差中項是sinx，等比中項是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx，①sinθcosθ=sin²y，②…（4分）
①²-②×2，可得 （sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故證得2cos2x=cos2y．…（8分）
分析：利用等差數列的定義和性質，等比數列的定義和性質可得，sinθ+cosθ=2sinx，sinθcosθ=sin²y，再利用同角三角函數的基本關系及二倍角公式證得不等式成立．
點評：本題主要考查等差數列的定義和性質，等比數列的定義和性質，同角三角函數的基本關系、及二倍角公式的應用，屬于中檔題．