Question

已知冪函數y=t（x）的圖象過點（2，4），函數y=f（x）的圖象可由y=t（x）的圖象向左移動個單位并向下移動個單位得到．
（1）求函數t（x）和f（x）的解析式；
（2）若集合A={m∈R|當x∈[-2，2]時，函數g（x）=f（x）-mx具有單調性}，集合，求B∩（∁_RA）

Answer 1

【答案】分析：（1）設出冪函數，把點（2，4）代入冪函數解析式后求冪指數，則t（x）可求，然后利用圖象的平移變化可得f（x）的解析式；
（2）根據當x∈[-2，2]時，函數g（x）=f（x）-mx具有單調性，借助于二次函數的對稱軸的范圍求出m的取值集合A，再利用f（x）+3＜2x+m對x∈（0，）恒成立，借助于二次函數在（0，）上的單調性求出m的取值集合B，然后直接進行交集與補集的運算．
解答：解：（1）設冪函數t（x）=x^α，由其圖象過點（2，4），所以，2^α=4，解得α=2．
故t（x）=x²．
把y=t（x）的圖象向左移動個單位并向下移動個單位，得f（x）=t（x+）-．
所以，f（x）=；
（2）由g（x）=f（x）-mx=x²+x-2-mx=x²-（m-1）x-2，
它的對稱軸為x=，
因為函數g（x）在區間[-2，2]上具有單調性，所以或．
解得：m≤-3或m≥5．故A=（-∞，-3]∪[5，+∞）．
再由f（x）+3＜2x+m對x∈（0，）恒成立，得：x²+x-2+3＜2x+m對x∈（0，）恒成立，
即m＞x²-x+1對x∈（0，）恒成立．
令h（x）=x²-x+1，對稱軸為x=，所以h（x）在（0，）上為減函數，
所以h（x）＜h（0）=1．所以m≥1．故B=[1，+∞）．
所以C_RA=（-3，5），
則B∩（∁_RA）=[1，+∞）∩（-3，5）=[1，5）．
點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了分類討論得數學思想，利用分離變量法求參數的范圍是解決該題的關鍵，考查了交、并、補集的混合運算，此題是中檔題．