Question

已知以向量v=(1,)為方向向量的直線l過點(0,),拋物線C:y²=2px(p＞0)的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上.

(1)求拋物線C的方程;

(2)設A、B是拋物線C上兩個動點,過A作平行于x軸的直線m,直線OB與直線m交于點N,若+p²=0(O為原點,A、B異于原點),試求點N的軌跡方程.

Answer 1

解：(1)由題意可得直線l:y=x+,①過原點垂直于l的直線方程為y=-2x.②

解①②,得x=.

∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上,∴-=×2,p=2.

∴拋物線C的方程為y²=4x.

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),N(x,y),由 +p²=0,得x₁x₂+y₁y₂+4=0,

又由y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,解得y₁y₂=-8.③ 

直線ON:y=x,即y=x.④ 

由③④及y=y₁,得點N的軌跡方程為x=-2(y≠0).